Oh…siamo stati franchi fin dall’inizio. Siamo di fronte a uno dei nostri collaudati e storici pipponi.
Quindi mettetevi comodi e mettete in modalità aero il cellulare: oggi parliamo di Guardie e Ladri.
Tempo di lettura 7 minuti
C’è da dire una cosa, comunque. Alla fine del pippone lasciamo sempre uno spunto di riflessione, un enigma e un gioco.
Quindi… Tornando all’articolo di oggi, ringraziamo i ragazzi del Math Segnale per l’ispirazione.
È stato il video spiegato da Davide Calza a farci riflettere.
Nome già sentito? Sì, insieme ad Andrea Crespi è co-autore di Starship Interstellar che arriverà ai backers entro l’anno.
Niente viaggio tra le stelle oggi, ma una prosaica caccia al ladro.
Benvenuti a Fox Town!
Guardie e Ladri: il gioco in breve
Partiamo col gioco base.
A fine articolo anche l’espansione in regalo, ma al momento coinvolgeremo un solo Poliziotto e un solo Ladro.
Diciamo quindi servono due pedine. Vanno bene due monete di metallo diverso, due cubetti o quello che vi pare.
Il gioco è ambientato a Fox Town, dove si erano candidati Anna e Biagio con quella brutta storia di Gerrymandering.
Fox Town è costruita da Piazze e Vicoli. A causa dello sciopero dell’Ufficio Toponomastica le Piazze sono semplicemente numerate.
Come immaginerete, per passate da una Piazza all’altra passa attraverso un Vicolo.
È evidente che una mossa equivale spostarsi da una Piazza a un’altra ed è permesso farlo se un Vicolo le collega.
Tuttavia, si può decidere anche di non muoversi nel proprio turno.
Formalizziamo il regolamento:
Un po’ di analisi
Proviamo a fare un’analisi di Guardia e Ladri cercando di fare pochi strafalcioni. Innanzitutto, Bell e Parlett lo classificherebbero come un gioco di caccia, un po’ come Hare & Hounds.
C’è infatti qualcuno che scappa, il Ladro, e qualcuno che “caccia”, il Poliziotto.
In questo gioco non ci sono dadi o altri elementi casuali.
Inoltre, il vostro avversario non ha informazioni diverse dalle vostre. Non ha, ad esempio, carte in mano di cui voi vedete solo il dorso.
Questa “condivisione di informazioni” fa sì che ciascun giocatore possa ad ogni istante conoscere tutte le mosse che l’avversario ha a disposizione e i risultati che tali scelte comportano.
Guardie e Ladri è simile agli Scacchi da questo punto di vista: un gioco a informazione perfetta.
Che ha vinto?
Mettete da parte Fox Town e provate a giocare costruendo voi, ogni volta, una cittadina diversa.
Come va?
Immaginiamo che nelle prime partite i risultati siano altalenanti.
Magari una distrazione o un differente livello di apprendimento della tattica fra i giocatori, farà sì che sconfitte e vittorie si alterneranno.
Andando avanti avrete due tipi di esperienze.
Nel primo caso, più o meno velocemente a seconda del numero di Piazze, il Poliziotto prenderà il Ladro.
In altri casi il Poliziotto, dopo aver passato a rincorrere l’avversario per un po’, si arrenderà perché vedrà infruttuosa qualsiasi tattica abbia introdotto.
Come ogni volta che giochiamo, a fine partita, soprattutto in caso di sconfitta, ci chiediamo: “Se avessi giocato diversamente, avrei vinto?”.
Con Guardie e Ladri non c’è questo problema.
Un bug dei giochi a informazione perfetta
I giochi a informazione perfetta hanno un bug.
Questo difetto a volte rende il gioco ingiocabile, vedi il Tris, altre volte non si vede.
Se ve lo state chiedendo, anche gli Scacchi hanno questo bug, nonostante siano forse il più nobile dei giochi da tavolo.
Anzi, i Granmaestri vengono spesso coinvolti in esperimenti sulla teoria dei giochi.
Il bug è molto semplice: ancora prima di fare una mossa sapere chi vincerà. In alcuni casi, torniamo sul Tris, sapete che pareggerete.
E quindi, gli Scacchi sono “un gioco rotto”.
“Ma io a volte a Tris vinco”
Non per sminuire i vostri successi, ma non vincete voi.
A dirla tutta perde l’avversario.
Questa bagatella per dire che la nostra affermazione, “si sa sempre come va a finire”, si basa sul concetto che ogni giocatore faccia ad ogni turno la mossa migliore.
Passiamo a qualche esempio
Mettiamo da parte Fox City e arriviamoci per gradi. Supponiamo di giocare una città circolare.
Una città circolare
Se il Ladro è un giocatore razionale, è proprio il termine matematico, si porrà nella Piazza di fronte al Poliziotto. Entrambi saranno quindi su Piazze dispari o pari.
Se il Poliziotto si muove in senso orario, lo stesso farà il Ladro.
In questo modo non c’è verso che venga catturato. In questo senso diciamo che per questo tipo di città vince sempre il Ladro (Thief-win).
Se poi il giocatore preferisce stare fermo, beh… allora…
Adesso prendiamo una città circolare con una scorciatoia.
Aggiungiamo adesso una scorciatoia
Come cambiano le cose? Succede esattamente l’opposto. Questa volta è il Poliziotto che non deve essere un allocco.
Se è così, il Ladro non ha contromosse per evitare la cattura.
“Ok, ma sono esempi banali’
Non è così. Dal punto di vista matematico, o logico se preferite, non esiste una città banale e una no.
Semplicemente in questi casi con poche Piazze è facile vedere la soluzione.
Prendiamo una città quadrata dove ogni Piazza è connessa a tutte quelle circostanti, sia ortogonalmente che diagonalmente.
Potete giocare anche con una scacchiera (qua ridotta per pigrizia)
Avrete intuito che è equivalente a prendere una scacchiera dove il Ladro e il Poliziotto si muovono come il Re, con l’opzione aggiuntiva di poter saltare il turno.
Situazione più intricata, ma anche in questo caso abbiamo una risposta.
Non importa la dimensione della scacchiera, nel nostro caso più piccola di quella degli Scacchi, vincerà sempre il Poliziotto.
Se volete approfondire
Esiste tutta una branca della matematica che si occupa della teoria dei grafi.
Come ai non appassionati di giochi da tavolo, il Monopoly è il gioco per antonomasia, così, quelle che a noi sembrano solo ragnatele, per i matematici sono grafi che si possono catalogare e… smontare.
Proprio così: come il Math Segnale ci spiegherà, tramite il metodo di induzione si può smantellare un grafo e sapere, ancora prima di giocare, se vince sempre il Poliziotto (Cop-win) o il Ladro (Thief-win).
Rimaniamo nel nostro e vi mettiamo nelle mani proprio del Math Segnale.
I ragazzi di Math Segnale, qui Davide Calza, spiega il concetto con più precisione, ma con un linguaggio davvero alla portata anche di non specialisti
“E chi vince a scacchi?”
Discorso dibattuto e ancora aperto.
Per Guardie e Ladri abbiamo scritto un programmino stupido che risolve le città e determina, prima di giocare, chi vincerà.
Shannon dimostrò che è impossibile usare metodi tipo il nostro nell’ambito scacchistico.
Il numero teorico di partite possibili potrebbe essere più elevato degli atomi che compongono l’Universo.
Anche volendo eliminare le combinazioni più stupide, che nessun giocatore farebbe, rimangono “10 seguito da 40 zeri” combinazioni da studiare per determinare se vincerà sempre il Nero, il Bianco o “patterrano”, come al Tris.
Grandi Maestri, e le statistiche delle partite giocate nel corso degli anni, sembrano portare a pensare che vinca sempre il Bianco, avvantaggiato dall’avere la prima mossa.
Un conto, comunque, è avere una sensazione, un conto una dimostrazione.
Un video, in inglese, che prova a stimare quante partite a scacchi differenti sono possibili
In conclusione
Eccoci qua alla fine di questo pippone su Guardie e Ladri.
Alla fine è stata l’occasione per confonderci le idee sui giochi a informazione perfetta insieme alla teoria dei grafi.
Siamo così tornati a Fox City per un gioco che potrà farvi compagnia per qualche ora mentre vi recate nei luoghi di villeggiatura.
Vi avevamo promesso anche un’espansione. Eccola qua.
La soluzione di Fox Town
Eccoci infine tornati a Fox Town, la città che ha visto le peggiori magagne di Volpe Giocosa.
Vincerà il Ladro o il Poliziotto? La soluzione dopo il tag anti-spoiler.
Applicando il principio proposto da Davide, alla fine Fox Town è riconducibile ad una città circolare.La soluzione a Fox Town
Vincerà quindi sempre il Ladro.
La nostra variante
Una dei modi migliore per ingannare i problemi descritti, è scambiare i ruoli.
Con la stessa città un giocatore svolge in una partita il ruolo del Ladro e nell’altra il Poliziotto.
Non è il massimo della vita, ma in una città Cop-win ci si può confrontare sul numero di mosse per chiudere la partita, ad esempio.
Un’altra soluzione è spingersi oltre.
Badate bene, il problema non sarà risolto, ma solo rinviato.
Il gioco che vi proponiamo è più complesso da “smontare” che quello originalmente proposto.
Sebbene il titolo dell’articolo sia Guardie e Ladri, abbiamo sempre proposto solo un professionista per ciascun ambito.
Provate a costruire invece una città e lanciare un’asta al ribasso sul numero dei Poliziotti per catturare il ladro.
Chi vince l’asta avrà quel numero di agenti a disposizione e dovrà dimostrare siano sufficienti.
Detto ciò, continua ad essere un gioco ad informazione perfetta, per cui abbiamo solo aggirato complicando il problema.
In questo modo dovrebbe essere più difficile, ad occhio, intuire che vincerà senza aver mosso pedine.
Qui di seguito vi proponiamo una lista di giochi che possono piacerti se hai gradito l’articolo.
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15 Luglio 2022
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